Dimostrazione alternativa al primo teorema di Euclide

Il percorso dimostrativo si basa sulla costruzione del parallelogramma ACLM – ottenuto intersecando le rette AC ed ED con le rette FA e GH – che viene dimostrato essere equivalente sia al quadrato sia al rettangolo del I teorema di Euclide; onde quadrato e rettangolo sono equivalenti tra loro in virtù della proprietà transitiva della relazione di equivalenza.
Si noti che il parallelogramma ACLM è equivalente al quadrato ACDE in quanto essi – come si osserva in fig. 2 – hanno la stessa altezza DC e la stessa base AC. D’altro canto, ACLM è equivalente anche al rettangolo AFGH. Infatti essi hanno la stessa altezza AH, e le basi AM e AF uguali. Quest’ultima proprietà deriva dal fatto che AF è uguale all’ipotenusa del triangolo ABC, e AM è l’ipotenusa del triangolo AME; e questi due triangoli rettangoli sono uguali poiché hanno uguali i due rispettivi cateti AC e AE e i due rispettivi angoli EAM e CAB, entrambi complementari dell’angolo MAC.

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